Đề & Hướng dẫn giải
thi Học sinh giỏi Toán Bảng A Lớp 9 Thành phố Hải Phòng Năm 2004-2005
















Đề thi HSG Hải Phòng lớp 9 Bảng B năm 2004-2005
























ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG
Môn Toán lớp 9 (2003 - 2004) (Thời gian : 150 phút)
Bài 1 : (2,5 điểm)
Giải phương trình :
|xy - x - y + a| + |x2y2 + x2y + xy2 + xy - 4b| = 0



Bài 2 : (2,5 điểm)
Hai phương trình :
x2 + (a - 1)x + 1 = 0 ; x2 + (b + 1)x + c = 0 có nghiệm chung, đồng thời hai phương trình : x2 + x + a - 1 = 0 và x2 + cx + b + 1 = 0 cũng có nghiệm chung.
Tính giá trị của biểu thức 2004a/(b + c).
Bài 3 : (3,0 điểm)
Cho hai đường tròn tâm O1 và tâm O2 cắt nhau tại A, B. Đường thẳng O1A cắt đường tròn tâm O2 tại D, đường thẳng O2A cắt đường tròn tâm O1 tại C.
Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt đường tròn tâm O1 tại M và cắt đường tròn tâm O2 tại N.
Chứng minh rằng :
1) Năm điểm B ; C ; D ; O1 ; O2 nằm trên một đường tròn.
2) BC + BD = MN.
Bài 4 : (2,0 điểm) Tìm các số thực x và y thỏa mãn x2 + y2 = 3 và x + y là một số nguyên.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH THUẬN
Môn Toán lớp 9 (2003 - 2004) (Thời gian : 150 phút)
Bài 1 : (6 điểm)
1) Chứng minh rằng :


là số nguyên.
2) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số
sao cho :


với n là số nguyên lớn hơn 2.
Bài 2 : (6 điểm)
1) Giải phương trình :



2) Cho Parabol (P) : y = 1/4 x2 và đường thẳng (d) : y = 1/2 x + 2.
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
b) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d). Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất.
c) Tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA + NB ngắn nhất.
Bài 3 : (8 điểm)
1) Cho đường tròn tâm O và dây cung BC không qua tâm O. Một điểm A chuyển động trên đường tròn (A khác B, C). Gọi M là trung điểm đoạn AC, H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống đường thẳng AB. Chứng tỏ rằng H nằm trên một đường tròn cố định.
2) Cho 2 đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R’ > R, cắt nhau tại 2 điểm A, B. Tia OA cắt đường tròn (O’) tại C và tia O’A cắt đường tròn (O) tại D. Tia BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tại E. So sánh độ dài các đoạn BC và BE.


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH VĨNH PHÚC, NĂM HỌC 2003 - 2004
Môn : Toán (Thời gian : 150 phút)
Câu 1 : (3 điểm) Cho hệ phương trình với tham số a :



a) Giải hệ phương trình khi a = -2.
b) Tìm các giá trị của tham số a để hệ phương trình có đúng hai nghiệm.
Câu 2 : (2 điểm)
a) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x + y + z = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
A = -z2 + z(y + 1) + xy.
b) Cho tứ giác ABCD (hai cạnh AB và CD có cùng độ dài) nội tiếp đường tròn bán kính 1. Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính r thì

Câu 3 : (2 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình 499(1997n + 1) = x2 + x có nghiệm nguyên.
Câu 4 : (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông (AC BC). Đường tròn (O) đường kính CD cắt hai cạnh AC và BC lần lượt tại E và F (D là hình chiếu vuông góc của C lên